Question

已知点P（a，-1）（a∈R），过点P作抛物线C：y=x²的切线，切点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁与x₂的值（用a表示）；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）涉及切点的问题常常利用导数与斜率的关系建立等式求解有关问题
（2）以点P为圆心的圆E与直线AB相切，一般直线与圆相切利用d=r建立关系．

解答：解：（Ⅰ）由y=x²可得，y′=2x．（1分）
∵直线PA与曲线C相切，且过点P（a，-1），
∴2x1=

x 2 1 +1

x1-a

，即x₁²-2ax₁-1=0，（3分）
∴x1=

2a- 4a2+4

2

=a-

a2+1

，或x1=a+

a2+1

，（4分）
同理可得：x2=a-

a2+1

，或x2=a+

a2+1

（5分）
∵x₁＜x₂，∴x1=a-

a2+1

，x2=a+

a2+1

．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-1，（7分）
则直线AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

=x1+x2，（8分）
∴直线AB的方程为：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），又y₁=x₁²，
∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2ax-y+1=0．
∵点P到直线AB的距离即为圆E的半径，即r=

2a2+2

4a2+1

，（10分）
∴r2=

4(a2+1)2

4a2+1

=

(a2+1)2

a2+ 1 4

=

(a2+ 1 4 + 3 4 )2

a2+ 1 4

=

(a2+ 1 4 )2+ 3 2 (a2+ 1 4 )+ 9 16

a2+ 1 4

=(a2+

1

4

)+

9

16(a2+ 1 4 )

+

3

2

≥2

9 16

+

3

2

=3，
当且仅当a2+

1

4

=

9

16(a2+ 1 4 )

，
即a2+

1

4

=

3

4

，a=±

2

2

时取等号．
故圆E面积的最小值S=πr²=3π．（14分）

点评：本题考查了函数的导数与斜率之间的关系，直线与圆的位置关系，不等的应用