Question

某电厂冷却塔外形是如图所示的双曲线的一部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A,A′是双曲线的顶点,C,C′是冷却塔上口直径的两个端点,B,B′是冷却塔下底直径的两个端点,已知AA′="14" m,CC′="18" m,BB′="22" m,塔高20 m.

(1)建立坐标系并写出该曲线的方程;
(2)求冷却塔的容积(精确到10 m3,塔壁厚度不计,π取3.14)

Answer 1

（1）
（2）冷却塔的容积为4.24×103(m3)

思路分析:设出双曲线的方程,利用待定系数法求方程;利用定积分求旋转体的体积.
解:(1)建立如图所示的直角坐标系xOy,

使AA′在x轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴.
设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则a=AA′=7.
设B(11,y1),C(9,y2),因为点B,C在双曲线上,所以有
=1,①
=1,②
由题意,知y2-y1=20.③
由①②③得y1=-12,y2=8,b=.故所求的双曲线方程为
(2)由双曲线方程得x2=y2+49.设冷却塔的容积为V(m3),
则V=π=π(y3+49y)=4.25×103(m3).
答:冷却塔的容积为4.24×103(m3).