Question

15．已知$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinx，\;m+cosx）$，$\overrightarrow b=（cosx，-m+cosx）$，且$f（x）=\vec a•\vec b$．
（1）求函数f（x）的解析式；并求其最小正周期和对称中心．
（2）当$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，f（x）的最小值是-4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可得解析式f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}-{m^2}$．利用周期公式可求最小正周期，由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z解得对称中心．
（2）由$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，可求$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$，从而可得$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-{m^2}=-4$，解得m，利用正弦函数的有界限即可得解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinx，\;m+cosx）$，$\overrightarrow b=（cosx，-m+cosx）$，$f（x）=\vec a•\vec b$．
∴$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x-{m^2}$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}-{m^2}$．…（3分）
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z解得对称中心为$（{\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\frac{1}{2}-{m^2}}）（{k∈Z}）$．…（6分）
（2）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}sin2x}}{2}+\frac{1+cos2x}{2}-{m^2}$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}-{m^2}$，
由$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，∴$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$，
∴$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-{m^2}=-4$，
∴m=±2…（10分）
∴$f{（x）_{max}}=1+\frac{1}{2}-4=-\frac{5}{2}$，此时$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$x=\frac{π}{6}$．…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了周期公式及正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．