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16.已知f(x)=-2lnx+2mx2+(8-m)x,m∈R.
(1)若y=f(x)在x=2处有极值,求m的值;
(2)求y=f(x)在[m2,m]上的最小值.

分析 (1)利用f′(2)=0求m的值;
(2)f′(x)=$\frac{(4x-1)(mx+2)}{x}$,0<m<1,函数在(0,$\frac{1}{4}$)上单调递减,在($\frac{1}{4}$,+∞)上单调递增,分类讨论求y=f(x)在[m2,m]上的最小值.

解答 解:(1)∵f(x)=-2lnx+2mx2+(8-m)x,
∴f′(x)=-$\frac{2}{x}$+4mx+(8-m),
∵y=f(x)在x=2处有极值,
∴f′(2)=-1+8m+(8-m)=0,
∴m=1;
(2)f′(x)=$\frac{(4x-1)(mx+2)}{x}$,0<m<1
∴函数在(0,$\frac{1}{4}$)上单调递减,在($\frac{1}{4}$,+∞)上单调递增,
∴m≤$\frac{1}{4}$,y=f(x)在[m2,m]上的最小值f(m)=-2lnm+2m3+(8-m)m;
$\frac{1}{4}$<m<$\frac{1}{2}$,y=f(x)在[m2,m]上的最小值f($\frac{1}{4}$)=4ln2-$\frac{1}{8}$m+2;
m≥$\frac{1}{2}$,y=f(x)在[m2,m]上的最小值f(m2)=-4lnm+2m5+(8-m)m2

点评 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性、极值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

练习册系列答案
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