Question

等差数列{ a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记S_n为{a_n}的前n项和，令b_n=a_na_n+1，数列{}的前n项和为T_n．
（1）求a_n和S_n；
（2）求证：T_n＜；
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12，
解得a₁=1，d=3，
∴a_n=3n-2，
=．
（2）∵b_n=a_na_n+1=（3n-2）（3n+1），
∴=，

=．
（3）由（2）知，，∴，，，
∵T₁，Tm，Tn成等比数列，
∴=，
即，
当m=1时，7=，n=1，不合题意；
当m=2时，，n=16，符合题意；
当m=3时，，n无正整数解；
当m=4时，，n无正整数解；
当m=5时，，n无正整数解；
当m=6时，，n无正整数解；
当m≥7时，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，
则，而，
所以，此时不存在正整数m，n，且7＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比数列．
分析：（1）设数列{a_n}的公差为d，由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12，解得a₁=1，d=3，由此能求出a_n和S_n．
（2）由b_n=a_na_n+1=（3n-2）（3n+1），知=，由此能够证明T_n＜．
（3）由（2）知，，故，，，由T₁，Tm，Tn成等比数列，能够推导出存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比数列．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，考查不等式的证明，考查正整数的求法．考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．