Question

【题目】对于无穷数列{an}，记T={x|x=aj﹣ai ， i＜j}，若数列{an}满足：“存在t∈T，使得只要am﹣ak=t（m，k∈N*且m＞k），必有am+1﹣ak+1=t”，则称数列{an}具有性质P（t）． （Ⅰ）若数列{an}满足 判断数列{an}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？
（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{an}具有性质P（0）”的必要不充分条件；
（Ⅲ）已知{an}是各项为正整数的数列，且{an}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得aN ， aN+1 ， aN+2 ， …，aN+k ， …是等差数列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{an}不具有性质P（2）；

同理可得，数列{an}具有性质P（4）．

（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，

所以不具有性质P（0）；

（必要性）因为数列{an}具有性质P（0），

所以一定存在一组最小的且m＞k，满足am﹣ak=0，即am=ak

由性质P（0）的含义可得am+1=ak+1，am+2=ak+2，…，a2m﹣k﹣1=am﹣1，a2m﹣k=am，…

所以数列{an}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：ak，ak+1，…，am﹣1为一个周期中的各项，

所以数列{an}中最多有m﹣1个不同的项，

所以T最多有 个元素，即T是有限集．

（Ⅲ）因为数列{an}具有性质P（2），数列{an}具有性质P（5），

所以存在M′、N′，使得aM'+p﹣aM'=2，aN'+q﹣aN'=5，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，

由性质P（2），P（5）的含义可得，aM'+p+k﹣aM'+k=2，aN'+q+k﹣aN'+k=5，

若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得aN'+p﹣aN'=2；

若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得aM'+q﹣aM'=5．

记M=max{M'，N'}，则对于aM，有aM+p﹣aM=2，aM+q﹣aM=5，显然p≠q，

由性质P（2），P（5）的含义可得，aM+p+k﹣aM+k=2，aN+q+k﹣aN+k=5，

所以aM+qp﹣aM=（aM+qp﹣aM+（q﹣1）p）+（aM+（q﹣1）p﹣aM+（q﹣2）p）+…+（aM+p﹣aM）=2qaM+qp﹣aM=（aM+pq﹣aM+（p﹣1）q）+（aM+（p﹣1）q﹣aM+（p﹣2）q）+…+（aM+q﹣aM）=5p

所以aM+qp=aM+2q=aM+5p．

所以2q=5p，

又p，q是满足aM+p﹣aM=2，aM+q﹣aM=5的最小的正整数，

所以q=5，p=2，aM+2﹣aM=2，aM+5﹣aM=5，

所以，aM+2+k﹣aM+k=2，aM+5+k﹣aM+k=5，

所以，aM+2k=aM+2（k﹣1）+2=…=aM+2k，aM+5k=aM+5（k﹣1）+5=…=aM+5k，

取N=M+5，则，

所以，若k是偶数，则aN+k=aN+k；

若k是奇数，则aN+k=aN+5+（k﹣5）=aN+5+（k﹣5）=aN+5+（k﹣5）=aN+k，

所以，aN+k=aN+k

所以aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是公差为1的等差数列

【解析】（Ⅰ）由 可得a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{an}不具有性质P（2）；同理可判断数列{an}具有性质P（4）．（Ⅱ）举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，利用新定义可证数列{an}不具有性质P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可．（Ⅲ）依题意，数列{an}是各项为正整数的数列，且{an}既具有性质P（2），又具有性质P（5），可证得存在整数N，使得aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是等差数列．
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．