Question

14．已知函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$），其中ω＞0，x∈R，其最小正周期是10π．
（1）求f（x）的解析式和单调递增区间
（2）若存在x$∈[-\frac{5π}{3}，-\frac{5π}{6}]$，使得f（x）-a+1＜0成立，求实数a的取值范围；
（3）若$α，β∈[0，\frac{π}{2}]$，且f（5α+$\frac{5π}{3}$）=$-\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5π}{6}$）=$\frac{16}{17}$，求cosαcosβ-sinαsinβ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦函数的周期性求得f（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得f（x）的增区间．
（2）由条件利用余弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域，从而求得a的范围．
（3）由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得cosα、cosβ、sinα、sinβ的值，可得cosαcosβ-sinαsinβ的值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$），其中ω＞0，x∈R，其最小正周期是$\frac{2π}{ω}$=10π，∴ω=$\frac{1}{5}$，
故f（x）=2cos（$\frac{1}{5}$x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-π≤$\frac{1}{5}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ，求得 10kπ-$\frac{35π}{3}$≤x≤10kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z．
故函数的增区间为[10kπ-$\frac{35π}{3}$，10kπ-$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（2）若存在x$∈[-\frac{5π}{3}，-\frac{5π}{6}]$，使得f（x）-a+1＜0成立，则f（x）＜a-1在[-$\frac{5π}{3}$，-$\frac{5π}{6}$]上有解．
由x∈[-$\frac{5π}{3}$，-$\frac{5π}{6}$]，可得$\frac{1}{5}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，f（x）=2cos（$\frac{1}{5}$x+$\frac{π}{6}$）∈[$\sqrt{3}$，2]，
∴a-1≥$\sqrt{3}$，故 a≥1+$\sqrt{3}$．
（3）若$α，β∈[0，\frac{π}{2}]$，且f（5α+$\frac{5π}{3}$）=2cos（α+$\frac{π}{2}$）=-2sinα=$-\frac{6}{5}$，∴sinα=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$．
f（5β-$\frac{5π}{6}$）=2cosβ=$\frac{16}{17}$，∴cosβ=$\frac{8}{17}$，∴sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{15}{17}$，
∴cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{4}{5}×\frac{8}{17}$-$\frac{3}{5}×\frac{15}{17}$=-$\frac{13}{85}$．

点评 本题主要考查余弦函数的周期性、单调性，函数的能成立问题，余弦函数的定义域和值域，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于中档题．