【题目】如图,在各棱长均相等的三棱柱中,设
是
的中点,直线
与棱
的延长线交于点
.
(1)求证:直线平面
;
(2)若底面
,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)连接交
于点
,连接
,由中位线定理可得
,即可由线面平行的判定定理证明
平面
;
(2)设的中点为
,连接
,可证明
,则以A为原点,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,求得平面
和平面
的法向量,由空间向量数量积定义可求得两个平面夹角的余弦值,结合同角三角函数关系式即可求得二面角
的正弦值.
(1)证明:连接交
于点
,连接
,如下图所示:
∵且
,
∴.
由已知条件得,
∴.
又∵平面
,且
平面
,
∴直线平面
.
(2)设的中点为
,连接
,
由已知得.
又∵且
,
∴.
结合,得
.
故.
由题意以A为原点,建立空间直角坐标系,如下图所示:
设,则
,
,
,
.
∴,
,
.
由,得平面
的一个法向量为
,
由,得平面
的一个法向量为
.
于是.
由同角三角函数关系式可知
故二面角的正弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,曲线
的参数方程为
(
).
(1)写出曲线的直角坐标方程与曲线
的普通方程;
(2)若射线(
)与曲线
,
分别交于
,
两点(不是原点),求
的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数)。在极坐标系(与直角坐标系
取相同的长度单位,且以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴)中,圆
的极坐标方程为
。
(1)求直线的普通方程和圆
的直角坐标方程;
(2)设圆与直线
交于
,
两点,若点
的坐标为
,求
。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的直角坐标方程;
(2)直线(
为参数)与曲线
交于
两点,与
轴交于
,求
.
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【题目】在平面直角坐标系中,倾斜角为
的直线
的参数方程为
(其中
为参数).在以
为极点、
轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中,曲线
:
的焦点
的极坐标为
.
(1)求常数的值;
(2)设与
交于
、
两点,且
,求
的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的极坐标方程;
(2)将曲线上所有点的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的
倍,得到曲线
,若
与
的交点为
(异于坐标原点
),
与
的交点为
,求
.
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【题目】已知直线的参数方程为
(其中
为参数),以原点为极点,以
轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(
为常数,且
),直线
与曲线
交于
两点.
(1)若,求实数
的值;
(2)若点的直角坐标为
,且
,求实数
的取值范围.
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