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【题目】如图,在各棱长均相等的三棱柱中,设的中点,直线与棱的延长线交于点.

1)求证:直线平面

2)若底面,求二面角的正弦值.

【答案】1)证明见解析(2

【解析】

1)连接于点,连接,由中位线定理可得,即可由线面平行的判定定理证明平面

2)设的中点为,连接,可证明,则以A为原点,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,求得平面和平面的法向量,由空间向量数量积定义可求得两个平面夹角的余弦值,结合同角三角函数关系式即可求得二面角的正弦值.

1)证明:连接于点,连接,如下图所示:

.

由已知条件得

.

又∵平面,且平面

∴直线平面.

2)设的中点为,连接

由已知得.

又∵

.

结合,得.

.

由题意以A为原点,建立空间直角坐标系,如下图所示:

,则.

.

,得平面的一个法向量为

,得平面的一个法向量为.

于是.

由同角三角函数关系式可知

故二面角的正弦值为.

练习册系列答案
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