精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

【题目】已知椭圆的离心率,左、右焦点分别是,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)设为椭圆上不在轴上的一个动点,过点的平行线交椭圆与两个不同的点,记,令,求的最大值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)

【解析】

1)由圆心到切线的距离求出,再由离心率可求得,从而得椭圆方程;

2)设,由平行线的等积转化,得,因此设直线方程为,代入椭圆方程整理后用韦达定理得,代入后利用基本不等式可得最大值.

解:(1)由题意可知:椭圆焦点在轴上,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,

所以

又椭圆的离心率,解得:

椭圆的方程为:

2)由(1)可知:椭圆的右焦点,设

设直线

,整理得:

当且仅当时,即时,取等号,

的最大值为

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床,该精密管件有内外两个口径,监管部门规定口径误差的计算方式为:管件内外两个口径实际长分别为,标准长分别为口径误差只要口径误差不超过就认为合格,已知这台车床分昼夜两个独立批次生产.工厂质检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取40件作为样本,经检测其中昼批次的40个样本中有4个不合格品,夜批次的40个样本中有10个不合格品.

(Ⅰ)以上述样本的频率作为概率,在昼夜两个批次中分别抽取2件产品,求其中恰有1件不合格产品的概率;

(Ⅱ)若每批次各生产1000件,已知每件产品的成本为5元,每件合格品的利润为10元;若对产品检验,则每件产品的检验费用为2.5元;若有不合格品进入用户手中,则工厂要对用户赔偿,这时生产的每件不合格品工厂要损失25元.以上述样本的频率作为概率,以总利润的期望值为决策依据,分析是否要对每个批次的所有产品作检测?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知为坐标原点,圆,定点,点是圆上一动点,线段的垂直平分线交圆的半径于点,点的轨迹为

Ⅰ)求曲线的方程;

Ⅱ)不垂直于轴且不过点的直线与曲线相交于两点,若直线的斜率之和为0,则动直线是否一定经过一定点?若过一定点,则求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知圆与椭圆相交于点M01),N0-1),且椭圆的离心率为.

1)求的值和椭圆C的方程;

2)过点M的直线交圆O和椭圆C分别于AB两点.

①若,求直线的方程;

②设直线NA的斜率为,直线NB的斜率为,问:是否为定值? 如果是,求出定值;如果不是,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】无线电技术在航海中有很广泛的应用,无线电波可以作为各种信息的载体.现有一艘航行中的轮船需要与陆地上的基站进行通信,其连续向基站拍发若干次呼叫信号,每次呼叫信号被基站收到的概率都是0.2,基站收到呼叫信号后立即向轮船拍发回答信号,回答信号一定能被轮船收到.

(Ⅰ)若要保证基站收到信号的概率大于0.99,求轮船至少要拍发多少次呼叫信号.

(Ⅱ)设(Ⅰ)中求得的结果为.若轮船第一次拍发呼叫信号后,每隔5秒钟拍发下一次,直到收到回答信号为止,已知该轮船最多拍发次呼叫信号,且无线电信号在轮船与基站之间一个来回需要16秒,设轮船停止拍发时,一共拍发了次呼叫信号,求的数学期望(结果精确到0.01).

参考数据:

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知函数,其中.

1)若为单调递减函数,求的取值范围;

2)若有两个不同的零点,求的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知两动圆),把它们的公共点的轨迹记为曲线,若曲线轴的正半轴的交点为,且曲线上的相异两点满足:.

1)求曲线的轨迹方程;

2)证明直线恒经过一定点,并求此定点的坐标;

3)求面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知抛物线焦点为,直线与抛物线交于两点.到准线的距离之和最小为8.

1)求抛物线方程;

2)若抛物线上一点纵坐标为,直线分别交准线于.求证:以为直径的圆过焦点.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为为参数,),以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;

(2)求已知曲线和曲线交于两点,且,求实数的值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案