Question

【题目】设函数y=f （x），对任意实数x，y都有f （x+y）=f （x）+f （y）+2xy．
（1）求f （0）的值；
（2）若f （1）=1，求f （2），f （3），f （4）的值；
（3）在（2）的条件下，猜想f （n）（n∈N*）的表达式并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0，得f（0）=0．
（2）解：由f（1）=1，得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2×1×1=4．

f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2×2×1=9．f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2×3×1=16

（3）解：由（2）可猜想f（n）=n2，

用数学归纳法证明：

（i）当n=1时，f（1）=12=1显然成立．

（ii）假设当n=k时，命题成立，即f（k）=k2，

则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2×k×1=k2+1+2k=（k+1）2，

故当n=k+1时命题也成立，

由（i），（ii）可得，对一切n∈N*都有f（n）=n2成立

【解析】（1）利用特殊值法判断即可；（2）根据条件，逐步代入求解；（3）猜想结论，根据数学归纳法的证明步骤证明．
【考点精析】掌握数学归纳法的定义是解答本题的根本，需要知道数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．