Question

已知抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，且抛物线上一点M到其焦点的最小距离为

1

4

，抛物E与直ly=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）当△OAB的面积等

10

时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由题意设：抛物线方程为y²=-2px，其抛物线上一点M到其焦点的最小距离为

1

4

，可得

p

2

=

1

4

，进而得到p，从而得出抛物线E的方程．
（2）联立直线与抛物线的方程得ky²+y-k=0，再结合韦达定理及弦长公式，结合△OAB的面积列出方程，可得k的值．

解答：解：（1）由题意得

p

2

=

1

4

，∴p=

1

2

，∴抛物线E的方程y²=-x；
（2）由方程组

y2=-x y=k(x+1)

消去x后，得ky²+y-k=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有y₁+y₂=-

1

k

，y₁y₂=-1，
∴|AB|=

1+ 1 k2

•

1 k2 +4

，h=d=

|k|

1+k2

，
∴S=

1

2

1 k2 +4

=

10

，
∴k=±

1

6

．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，属于基础题．