Question

【题目】如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
A.AC⊥BD
B.AC=BD
C.AC∥截面PQMN
D.异面直线PM与BD所成的角为45°

Answer 1

【答案】B
【解析】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD∥PN，
∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；
由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．
∴ ， ，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC．B错误．
故选：B．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键．