Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c．
（I）若a，b，c成等比例数列，求角B的范围；
（II）若acosB+bcosA=2ccosC，且sinA=2sinB，边c∈(

1

2

，4]时，求△ABC面积的范围．

Answer 1

分析：（I）因为a，b及c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，设a≤b≤c，再利用余弦定理表示出cosB，把列出的关系式代入，并利用基本不等式a²+c²≥2ac，得出cosB的范围，由B为三角形的内角，利用余弦函数的图象与性质即可得出角B的范围；
（II）利用正弦定理化简acosB+bcosA=2ccosC，并根据三角形的内角和定理及诱导公式变形，根据sinC不为0，得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值可得C的度数，再利用正弦定理化简sinA=2sinB，得到a=2b，利用余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，把a=2b及cosC的值代入，得到c=

3

b，可得b=

3

3

c，利用三角形的面积公式S=

1

2

absinC，把sinC的值，及a=2b代入，并将b=

3

3

c代入，用c²表示出三角形的面积，然后由c的范围得到c²的范围，进而确定出三角形面积的范围．

解答：解：（I）由题意知a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
不妨设a≤b≤c，
由余弦定理得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
根据B为三角形内角，可得0＜B≤

π

3

，
则角B的范围为（0，

π

3

]；
（II）∵bcosA+acosB=2ccosC，①
由正弦定理知，b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，②（2分）
将②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB=4sinCcosC，
化简，得sin（A+B）=2sinCcosC．（5分）
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
∴sinC=2sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

，
将②代入sinA=2sinB得：a=2b，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
把a=2b代入得：c²=4b²+b²-2b²=3b²，
∴c=

3

b，即b=

3

3

c，
∵a=2b，sinC=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

×2b²=

3

6

c²，
又c∈（

1

2

，4]，
∴c²∈（

1

4

，16]，
∴

3

24

＜

3

6

c²≤

8 3

3

，
则S_△ABC的范围为（

3

24

，

8 3

3

]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，诱导公式，三角形的面积公式，等比数列的性质，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．