Question

4．若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（3）=0，则$\frac{f（x）+2f（-x）}{x}$＞0的解集为（　　）

• A． （-3，3）
• B． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• C． （-3，0）∪（0，3）
• D． （-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

分析 利用奇函数的性质，可得函数f（x）在（-∞，0）上也是增函数，且f（-3）=0，由$\frac{f（x）+2f（-x）}{x}$＞0得f（x）x＜0，对x进行分类讨论即可．

解答 解：函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（3）=0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上也是增函数，且f（-3）=0，
∵$\frac{f（x）+2f（-x）}{x}$＞0
∴f（x）x＜0
∴x＞0，f（x）＜0或x＜0，f（x）＞0
∴-3＜x＜0或0＜x＜3
故选C

点评 考察了奇函数的性质和对xf（x）＞0的分类讨论．