Question

已知f（x）=xlnx
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜，令f′（x）＞0，解得x＞，
所以f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；
（2）由（1）知f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞），
则（ⅰ）当0＜t＜t+2＜时，t无解；
（ⅱ）当0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，
f（x）在[t，]上递减，在[，t+2]上递增，
所以f（x）_min=f（）=-；
（ⅲ）当≤t＜t+2，即t时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
所以f（x）_min=f（t）=tlnt，
所以．
分析：（1）求出函数的定义域，求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即得单调区间；
（2）由（1）可知x=为f（x）的极值点，按照极值点在区间[t，t+2]的右侧、内部、左侧三种情况进行讨论，由函数的单调性即可求得其最小值；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，属中档题．