Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=2，且（n+1）a_n-（n-1）a_n-1=0（n≥2），则a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 通过（n+1）a_n-（n-1）a_n-1=0（n≥2）得出后一项与前一项的比，进而利用累乘法计算即得结论．

解答 解：∵（n+1）a_n-（n-1）a_n-1=0（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{n-3}{n-1}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
又∵a₁=2，
∴a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$，
故答案为：$\frac{4}{n（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．