Question

8．对于给定的正整数数列{a_n}，满足a_n+1=a_n+b_n，其中b_n是a_n的末位数字，下列关于数列{a_n}的说法正确的是（　　）

• A． 如果a₁是5的倍数，那么数列{a_n}与数列{2ⁿ}必有相同的项
• B． 如果a₁不是5的倍数，那么数列{a_n}与数列{2ⁿ}必没有相同的项
• C． 如果a₁不是5的倍数，那么数列{a_n}与数列{2ⁿ}只有有限个相同的项
• D． 如果a₁不是5的倍数，那么数列{a_n}与数列{2ⁿ}有无穷多个相同的项．

Answer 1

分析 分类讨论：当a₁是5的倍数，则数列{a_n}的末位数字是5或0，数列{2ⁿ}的末位数字只能是2，4，6，8，不存在相同的项，判断A不正确；当a₁不是5的倍数时，则这个数的末位数字只能是2，4，6，8，数列{a_n}的末位数字可以是2，4，6，8，数列{2ⁿ}的末位数字有且只有2，4，6，8，故它们必有相同的项，且有无穷多个相同的项，由此判断B，C不正确，D正确．

解答 解：如果a₁是5的倍数，则数列{a_n}的末位数字是5或0，数列{2ⁿ}的末位数字只能是2，4，6，8，不存在相同的项，因此A不正确；
当a₁不是5的倍数时，这个数加上它的末位数字，一直加下去，则这个数的末位数字只能是2，4，6，8，数列{a_n}的末位数字可以是
2，4，6，8，数列{2ⁿ}的末位数字有且只有2，4，6，8，故它们必有相同的项，且有无穷多个相同的项，因此B，C不正确，D正确．
∴关于数列{a_n}的说法正确的是：D．
故选：D．

点评 本题考查命题真假判断与应用，考查了数列递推式的运用，求解此类题的关键是要对命题涉及的知识有很好的理解与掌握，是中档题．