Question

6．如图，切线CD、CB分别与⊙O相交于点D、B，AB为⊙O的直径，AE∥CD交BD于点E，若AB=BC，则sin∠BAE的值为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 连结CO、DO、AD，设CO交BD于F，由切线性质和弦切角定理推导出△CDF≌△BDA，由此利用勾股定理和二倍角公式能求出sin∠BAE．

解答 解：连结CO、DO、AD，设CO交BD于F，
∵切线CD、切线CB分别与⊙O相交于点D、B，
AB为⊙O的直径，AE∥CD交BD于点E，AB=BC，
∴CO⊥BD，AB⊥CB，AD⊥BD，CD⊥OD，OD⊥AE，
∴CB=2OB，∠CDB=∠BAD，AB=CD，
∴△CDF≌△BDA，∴AD=DF=BF，
∴∠BDO=∠ABD，∠AOD=2∠ABD，
设AD=DF=BF=a，则$AB=\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}}$=$\sqrt{5}a$，
∴sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠ABD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴cos∠AOD=cos2∠ABD=1-2sin²∠ABD=1-2×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BAE=cos$∠AOD=\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、切线性质的合理运用．