Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，，求BC和BF的长．

Answer 1

（1）见解析；（2）BC=2，BF=

1）由已知条件可判定直线BF与⊙O相切
（2）在Rt△ANB中，利用边角关系求出BE的长，进而求出BC所以△AGC∽△FBA，利用对应边的比值相等求出PC，在利用勾股定理求出AE，则可求出．
证明：（1）证明：连结AE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∴∠1=∠2=90°．
∵AB=AC
∴∠1=∠CAB．
∴∠CBF=∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°．
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB·sin∠1=
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2
在Rt△ABE中，由勾股定理AE==2
∴sin∠2=，cos∠2=．
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3．
∵GC∥BF
∴△AGC∽△ABF．

∴BF=