【题目】已知动圆过定点,且与直线相切.
(1)求动圆的圆心轨迹的方程;
(2)是否存在直线,使过点(0,1),并与轨迹交于两点,且满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)直线存在,其方程为.
【解析】
(1)设为动圆圆心,根据圆与直线相切可得,结合抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,从而解决问题;
(2)对“是否存在性”问题,先假设存在,设直线的方程为,与抛物线方程联立结合根的判别式求出的范围,再利用向量垂直求出值,看它们之间是否矛盾,没有矛盾就存在,否则不存在.
(1)如图,
设为动圆圆心,,
过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:
即动点到定点与到定直线的距离相等,
由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,
其中为焦点,为准线,
动圆圆心的轨迹方程为;
(2)由题可设直线的方程为
由得;
△,
解得或
设,,,,则,
由,即,
得
解得或(舍去),
直线存在,其方程为.
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【题目】点P为两直线l1:3x+4y﹣2=0和l2:2x+y+2=0的交点.
(1)求过P点且与直线3x﹣2y+4=0平行的直线方程;
(2)求过原点且与直线l1和l2围成的三角形为直角三角形的直线方程.
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【题目】如图①,已知矩形中,,,为的中点.将沿折起,使得平面平面(如图②),并在图②中回答如下问题:
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】规定投掷飞镖3次为一轮,3次中至少两次投中8环以上的为优秀.现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况:先由计算器产生随机数0或1,用0表示该次投镖未在8环以上,用1表示该次投镖在8环以上;再以每三个随机数作为一组,代表一轮的结果.例如:“101”代表第一次投镖在8环以上,第二次投镖未在8环以上,第三次投镖在8环以上,该结果代表这一轮投镖为优秀:"100”代表第一次投镖在8环以上,第二次和第三次投镖均未在8环以上,该结果代表这一轮投镖为不优秀.经随机模拟实验产生了如下10组随机数,据此估计,该选手投掷飞镖两轮,至少有一轮可以拿到优秀的概率是( )
101 | 111 | 011 | 101 | 010 | 100 | 100 | 011 | 111 | 001 |
A. B. C. D.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的短轴长为2,倾斜角为的直线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,且点M与坐标原点O连线的斜率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若,P是以AB为直径的圆上的任意一点,求证:.
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【题目】圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数,它既常用又神秘,古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏:让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下,所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边,最后把结论告诉你,只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有个人说“能”,而有个人说“不能”,那么应用你学过的知识可算得圆周率的近似值为()
A. B. C. D.
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【题目】根据下面给出的2008年至2017年某地二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2012年减少二氧化碳排放量的效果最显著
B.2011年该地治理二氧化碳排放显现成效
C.2010年以来该地二氧化碳年排放量呈减少趋势
D.2010年以来该地二氧化碳年排放量与年份正相关
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