Question

某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路有一人正沿此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD=21km，求此人在D处距A还有多少千米．

Answer 1

分析：由图形求出∠CAD的度数，以及BC，BD及CD的长，利用余弦定理求出cosB的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinA，sinB及BC的长，利用正弦定理求出AC的长，由BC，AC及cosA的值，利用余弦定理求出AB的长，由AB-BD即可求出AD的长．

解答：解：如图，易知∠CAD=25°+35°=60°，BC=31，BD=20，CD=21，
由余弦定理得：cosB=

BC2+BD2-CD2

2BC•BD

=

312+202-212

2×31×20

=

23

31

，
∴sinB=

1-cos2B

=

12 3

31

，
又在△ABC中，由正弦定理得：AC=

BCsinB

sinA

=

31× 12 3 31

3 2

=24，
由余弦定理得BC²=AC²+AB²-2AC•ABcosA，即31²=AB²+24²-2×AB×24cos60°，
∴AB²-24AB-385=0，
解得：AB=35或AB=-11（舍去），
∴AD=AB-BD=35-20=15（km）．

点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理的解本题的关键．