Question

已知f（x）是定义在R上的可导函数，若函数F（x）=xf（x），满足F'（x）＞0对x∈R恒成立，则下面四个结论中，所有正确结论的序号是（　　）
①f（1）+f（-1）＞0；　　
②f（x）≥0对x∈R成立；
③f（x）可能是奇函数；　
④f（x）一定没有极值点．

A．①②

B．①③

C．①②③

D．②③④

Answer 1

分析：由于函数F（x）=xf（x），满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，则可知F（x）=xf（x）为R上的增函数，然后分别利用函数的性质进行判断．

解答：解：由于函数F（x）=xf（x），满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，则可知F（x）=xf（x）为R上的增函数，
则①f（1）＞-f（-1）即f（1）+f（-1）＞0；
②由于[xf（x）]′=f（x）+xf′（x）＞0，
又由y=xf（x）单调递增，y=x也单调递增，则函数y=f（x）单调递增，故f′（x）≥0，
所以当x＜0时，f（x）≥0成立，而当x≥0时，f（x）≥0不一定成立；
③因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以f（x）可能是奇函数；
④由y=xf（x）单调递增，y=x也单调递增，则函数y=f（x）单调递增，故f′（x）≥0，f（x）一定没有极值点．
故答案为 B

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查导数知识的运用，解题的关键是利用导数判断函数的单调性．