Question

13．已知f（x）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）（x≠0），证明f（x）＞0．

Answer 1

分析 化简f（x）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$x，从而讨论证明即可．

解答 证明：f（x）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）
=$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$x，
当x＜0时，2^x+1＞0，2^x-1＜0；
故$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$x＞0；
当x＞0时，2^x+1＞0，2^x-1＞0；
故$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$x＞0；
故f（x）＞0．

点评 本题考查了函数的化简与分类讨论的思想应用，属于基础题．