Question

如图，直三棱柱中，，，D是AC的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求几何体的体积.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）．

试题分析：（Ⅰ）利用线线平行证明线面平行，抓住直线PD∥B₁A达到证明AB₁∥平面BC₁D；（Ⅱ）采用体积分割技巧，将所求的几何体转化为直三棱柱的体积简单两个三棱锥的体积.
试题解析：（Ⅰ）连接B₁C交BC₁于点P，连接PD．
由于BB₁C₁C是平行四边形，所以P为为B₁C的中点
因为D为AC的中点，所以直线PD∥B₁A，
又PDÌ平面B₁CD，B₁AË平面BC₁D，
所以AB₁∥平面BC₁D．                                       6分

（Ⅱ）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积V₁＝×2×2×2＝4．
三棱锥C₁－BDC的体积V₂与三棱锥A₁－BDA的体积V₃相等，
V₂＝V₃＝×××2×2×2＝．
所以几何体BDA₁B₁C₁的体积V＝V₁－V₂－V₃＝．                  12分