Question

（2013•天津一模）某中学一、二、三年级分别有普法志愿者36人、72人、54人，用分层抽样的方法从这三个年级抽取一个样本，已知样本中三年级志愿者有3人．
（I）分别求出样本中一、二年级志愿者的人数；
（Ⅱ）用A_i（i=1，2…）表示样本中一年级的志愿者，a_i（i=1，2，…）表示样本中二年级的志愿者，现从样本中一、二年级的所有志愿者中随机抽取2人，①用以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况，②抽取的二人在同一年级的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由样本中三年级志愿者的人数求出所占比例数，由一、二年级普法志愿者的人数乘以所占比例数即可得到样本中一、二年级志愿者的人数；
（Ⅱ）①根据题目给出的编号，直接列举出从样本中一、二年级的所有志愿者中随机抽取2人的方法种数；②查出抽取的二人在同一年级的情况数，直接利用古典概型概率计算公式求解．

解答：解：（Ⅰ）依题意，分层抽样的抽样比为

3

54

=

1

18

．
∴在一年级抽取的人数为36×

1

18

=2人．
在二年级抽取的人数为72×

1

18

=4人．
所以一、二年级志愿者的人数分别为2人和4人；
（Ⅱ）①用A₁，A₂表示样本中一年级的2名志愿者，用a₁，a₂，a₃，a₄表示样本中二年级的4名志愿者．
则抽取二人的情况为A₁A₂，A₁a₁，A₁a₂，A₁a₃，A₁a₄，A₂a₁，A₂a₂，A₂a₃，A₂a₄，a₁a₂，a₁a₃，a₁a₄，a₂a₃，a₂a₄，a₃a₄共15种．
②抽取的二人在同一年级的情况是A₁A₂，a₁a₂，a₁a₃，a₁a₄，a₂a₃，a₂a₄，a₃a₄共7种．
∵每一种情况发生的可能性都是等可能的，
∴抽取的二人是同一年级的概率为

7

15

．

点评：本题考查了分层抽样方法，考查了古典概型及其概率计算公式，在分层抽样中，每层所抽取的比例相等，是基础题．