Question

已知z是实系数方程x²+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P_z，
（1）若（b，c）在直线2x+y=0上，求证：P_z在圆C₁：（x-1）²+y²=1上；
（2）给定圆C：（x-m）²+y²=r²（m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P_z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点（非端点），则P_z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；
（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s₁是（1）中圆C₁的对应线段）．

线段s与线段s1的关系	m、r的取值或表达式
s所在直线平行于s1所在直线
s所在直线平分线段s1

Answer 1

分析：（1）（b，c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明P_z在圆C₁：（x-1）²+y²=1上；
（2）①求出虚根，虚根在定圆C：（x-m）²+y²=r²（m、r∈R，r＞0），推出c=-2mb+r²-m²，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②（b，c）是线段s上一点（非端点），实系数方程为x²+2bx-2mb+r²-m²=0，b∈（-m-r，-m+r）此时△＜0，求出方程的根P_z，可推出P_z在圆C上．
（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．

解答：解：（1）由题意可得2b+c=0，
解方程x²+2bx-2b=0，得z=-b±

-2b-b2

 i
∴点Pz( -b，  

-2b-b2

 )或Pz( -b，  -

-2b-b2

 )，
将点P_z代入圆C₁的方程，等号成立，
∴P_z在圆C₁：（x-1）²+y²=1上
（2）当△＜0，即b²＜c时，
解得z=-b±

c-b2

i，
∴点Pz( -b，  

c-b2

 )或Pz( -b，  -

c-b2

 )，
由题意可得（-b-m）²+c-b²=r²，
整理后得c=-2mb+r²-m²，
∵△=4（b²-c）＜0，（b+m）²+c-b²=r²，∴b∈（-m-r，-m+r）
∴线段s为：c=-2mb+r²-m²，b∈[-m-r，-m+r]
若（b，c）是线段s上一点（非端点），
则实系数方程为x²+2bx-2mb+r²-m²=0，b∈（-m-r，-m+r）
此时△＜0，且点Pz(-b，

r2-(b+m)2

)
Pz(-b，-

r2-(b+m)2

)在圆C上
（3）表

线段s与线段s1的关系	m、r的取值或表达式
s所在直线平行于s1所在直线	m=1，r≠1
s所在直线平分线段s1	r2-（m-1）2=1，m≠1
线段s与线段s1长度相等	（1+4m2）r2=5

点评：本题考查复数的基本概念，直线和圆的方程的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．