Question

已知点M是直线上的动点，为定点，过点M且垂直于直线的直线和线段MF的垂直平分线相交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）经过点Q（a，0）（a＞0）且与x轴不垂直的直线l与点P的轨迹有两个不同交点A、B，若在x轴上存在点C，使得△ABC为正三角形，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由过点M且垂直于直线的直线和线段MF的垂直平分线相交于点P，可得|PF|=|PM|，利用抛物线的定义可得点P的轨迹是抛物线，从而求得方程；
（2）设直线l的方程与抛物线方程联立，确定AB中点的坐标，利用△ABC为正三角形，建立两个方程，即可求实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵过点M且垂直于直线的直线和线段MF的垂直平分线相交于点P，∴|PF|=|PM|，
∴由抛物线的定义可得点P的轨迹C是以F为焦点，以直线为准线的抛物线，
∴点P的轨迹方程为y²=2x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为N（x，y），C（t，0），直线l的方程为x=my+a（m≠0）
与抛物线方程联立，消去x可得：y²-2my-2a=0
∴△=4m2+8a＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a
∴y=m，x=m²+a
∵△ABC为正三角形，
∴NC⊥AB，NC=
∴，=
∴t=m²+a+1，=
∴1+m²=3（m²+1）（m²+2a）
∴a=
∵m≠0，a＞0
∴0＜a＜
∴实数a的取值范围为（0，）．
点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．