Question

一个等差派生数列的单调性各项都为正数且公差不为零的等差数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，把离首末两项“距离”相等的两项之积排成数列，则该数列是

[　　]

A．

递减数列

B．

递增数列

C．

奇数项递增、偶数项递减的数列

D．

先增后减的数列

Answer 1

答案：D
解析：

取满足已知条件的数列1，2，3，4，5，6．则按题目要求得到派生数列6，10，12，12，10，6．(*) 　　根据数列(*)特点便可排除A、B、C．那么选项D正确吗？数列(*)是先增后减的数列，递增递减也是有规律的．我们会想：对满足条件的任意等差数列是否都有此结论呢？我们研究下面的命题： 　　a1，a2，a3，…，an(n≥3)是公差不为零的等差数列，a1an，a2an－1，…，an－1a2，ana1是一个先增后减的数列，并且中间项最大． 　　设等差数列{an}的公差为d，记数列a1an，a2an－1，…，an－1a2，ana1的第k项为bk，则bk＝akan－k+1(k∈N*)， 　　∴bk+1－bk＝ak+1an－k－akan－k+1 　　＝(ak＋d)(an－k＋1－d)－akan－k+1 　　＝(an－k+1－ak)d－d2． 　　①若n为奇数，当k＜时，bk+1＞bk；当k＞时，bk+1＜bk． 　　∴b1＜b2＜…＜＜＞＞…＞bn． 　　∴{bn}是一个先增后减的数列，并且中间项最大． 　　①若n为偶数，当k＜时，bk+1＞bk；当k＝时，bk+1＝bk；当k＞时，bk+1＜bk． 　　∴b1＜b2＜…＜＝＞＋2＞…＞bn． 　　∴{bn}是一个先增后减的数列，并且中间两项相等且最大，都等于． 　　综上证明知，a1an，a2an－1，…，an－1a2，ana1是一个先增后减的数列，并且中间项最大．故选D．