已知点A(-1,0)、B(1,0)和动点M满足:∠AMB=2θ,且|AM|•|BM|cos2θ=3,动点M的轨迹为曲线C,过点B的直线交C于P、Q两点.
(1)求曲线C的方程;
(2)求△APQ面积的最大值.
分析:(1)设出M的坐标,利用余弦定理求得|AM|
2+|BM
2|-2|AM|•|BM|cos2θ=4整理求得|AM|+|BM|为定值,利用椭圆的定义可推断出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,进而求得a和c,则b可求,进而求得椭圆的方程.
(2)设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x,设出P,Q的坐标利用韦达定理表示出y
1+y
2和y
1y
2,进而求得(y
1-y
2)
2的表达式,令t=3m
2+3,利用y=t+
的单调性求得(y
1-y
2)
2的范围,进而代入三角形面积公式求得面积的最大值.
解答:解:(1)设M(x,y),在△MAB中,|AB|=2,∠AMB=2θ,
由余弦定理可得|AM|
2+|BM
2|-2|AM|•|BM|cos2θ=4,
整理变形可得|AM|+|BM|=4,
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,a=2,c=1
∴曲线C的方程为
+=1(2)设直线PQ方程为x=my+1(m∈R)由
得:(3m
2+4)y
2+6my-9=0
显然,方程①的△>0,设P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),则有S=
×2×|y
1-y
2|=|y
1-y
2|
y
1+y
2=-
,y
1y
2=-
(y
1-y
2)
2=(y
1+y
2)
2-4y
1y
2=48×
令t=3m
2+3,则t≥3,(y
1-y
2)
2=
由于函数y=t+
在[3,+∞)上是增函数,∴t+
≥
故(y
1-y
2)
2≤9,即S≤3
∴△APQ的最大值为3
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等,突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,故此类题平时应注意多加训练.