Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0，a，b为常数）满足f（1﹣x）=f（1+x），且方程f（x）=2x有两个相等实根；设g（x）= x3﹣x﹣f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求g（x）在[0，3]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0，a，b为常数）满足f（1﹣x）=f（1+x），

故对称轴x=﹣ =1①，

方程f（x）=2x有两个相等实根，即ax2+（b﹣2）x=0有两个相等实根，

故△=（b﹣2）2=0，解得：b=2，

将b=2代入①，解得：a=﹣1，

故f（x）=﹣x2+2x；

（2）解：g（x）= x3﹣x﹣f（x）= x3+x2﹣3x，

g′（x）=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），

令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣3，

令g′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜1，

∴g（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，1）递减，在（1，+∞）递增，

∴g（x）在[0，1）递减，在（1，3]递增，

∴g（x）最小值=g（1）=﹣ ，而g（0）=0，g（3）=9，故g（x）最大值=9

【解析】（1）根据函数的对称轴得到﹣ =1，根据方程f（x）=2x有两个相等实根，求出b的值，从而求出a的值，求出函数的表达式；（2）求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间上的最值即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．