Question

已知f（x）=e^x-ax-1
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）在[0，+∞）内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导函数，令f'（x）≥0得e^x≥a，分类讨论：当a≤0时，f'（x）＞0在R上恒成立，当a＞0时，得x≥lna，由此可得f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）在[0，+∞）内单调递增，则f′（x）≥0在[0，+∞）内恒成立，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f'（x）=e^x-a，
令f′（x）≥0得e^x≥a，
当a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，
当a＞0时，由f′（x）＞0得x≥lna，
综上所述：当a≤0时f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）；
当a＞0时f（x）的单调增区间是（lna，+∞）．
（2）若f（x）在[0，+∞）内单调递增，
则f′（x）=e^x-a≥0在[0，+∞）内恒成立，
即a≤e^x，当x≥0时，e^x≥1，
则a≤1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与导数之间的关系，注意要对a进行讨论．