Question

10．已知函数f（x）=ax²+21nx．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值是-2，求a的值．
（3）记g（x）=f（x）+（a-1）lnx+1，当a≤-2时，若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），总有|g（x₁）-g（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立，试求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，讨论a≥0时，a＜0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）由（1）可得，可得a≥0时，f（x）在（0，1]递增，f（1）最大为-2，解方程可得；a＜0时，求得极值点，与区间（　　），1]的关系，可得最大值，解方程可得a的值；
（3）求得g（x）的导数，判断符号可得单调性，再由条件可得h（x）=g（x）+kx递减，运用导数，结合基本不等式可得k的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=ax²+21nx（x＞0）的导数为f′（x）=2ax+$\frac{2}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2}{x}$，
当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当a＜0时，f′（x）＞0解得0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{a}}$；f′（x）＜0解得x＞$\sqrt{-\frac{1}{a}}$．
即有a≥0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；
a＜0时，f（x）的增区间为（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）；减区间为（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，+∞）．
（2）由（1）可得a≥0时，f（x）在（0，1]递增，f（1）取得最大，且为a=-2，舍去；
a＜0时，若1≤$\sqrt{-\frac{1}{a}}$即-1≤a＜0时，f（x）在（0，1]递增，
则f（1）=a取得最大值，且为a=-2＜-1，不成立；
若1＞$\sqrt{-\frac{1}{a}}$即a＜-1时，f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）递增，（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，1]递减，．
则f（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$取得最大值，且为-1+2ln$\sqrt{-\frac{1}{a}}$=-2，解得a=-e＜-1，成立．
综上可得a=-e；
（3）g（x）=f（x）+（a-1）lnx+1=ax²+（a+1）lnx+1，
g′（x）=2ax+$\frac{a+1}{x}$＜0，（a≤-2），即有g（x）在（0，+∞）递减，
令x1＜x2，则g（x1）＞g（x2），
若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），总有|g（x₁）-g（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立，
即为g（x₁）-g（x₂）≥k（x₂-x₁），即g（x₁）+kx₁≥g（x₂）+kx₂，
则h（x）=g（x）+kx在（0，+∞）递减，
即有h′（x）=g′（x）+k≤0恒成立，
则-k≥2ax+$\frac{a+1}{x}$的最大值，
由a≤-2，2ax+$\frac{a+1}{x}$≤-4x-$\frac{1}{x}$=-（4x+$\frac{1}{x}$）≤-2$\sqrt{4x•\frac{1}{x}}$=-4，
当且仅当x=$\frac{1}{2}$时，取得最大值-4，
则-k≥-4，即k≤4，则k的最大值为4．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，同时考查分类讨论的思想方法和构造函数的方法，属于中档题．