Question

（2006•浦东新区一模）设z是复数，以下命题中错误的是（　　）

• A．z为实数的充分必要条件是z-

  .

  z

  =0
• B．z为实数的充分必要条件是z²≥0
• C．z为纯虚数的充分必要条件是z+

  .

  z

  =0
• D．z为纯虚数的充分必要条件是z²＜0

Answer 1

分析：对各选项分别加以判断：由共轭复数的定义以及复数的代数形式，可得A选项是正确的，C选项是错误的；根据实数的平方是一个非负数的性质，可得B选项是正确的；根据实数的平方是一个非负数，并且当且仅当这个数是零时平方才为零，可得D也是正确的．

解答：解：对于A：设z=a+bi，（a、b为实数）为实数的充分必要条件是b=0，而b=0时，
z=a=

.

z

，所以等价于z-

.

z

=0，说明A不错．
对于B：根据实数的平方非负的性质可得，z²≥0则z为实数，反之也成立，说明B不错
对于C：z设z=a+bi，（a、b为实数），则z为纯虚数的定义是a=0且b≠0
说明

.

z

=-bi，z=bi，z+

.

z

=0成立，但是反过来若z+

.

z

=0，有可能z=

.

z

=0，不能使z为纯虚数
所以C是错误的；
对于D：纯虚数的一般形式是z=bi（b为非零的实数），
说明若z是纯虚数，则z²=（bi）²=-b²＜0，说明充分性成立，
反之，若复数z满足z²＜0，一方面说明z²是实数，另一方面说明z是虚数，说明z必定是纯虚数，所以D也不错
故选C

点评：本题以复数的概念为例，考查了充分条件与必要条件的判断是，属于基础题．准确运用复数的代数形式结合实数的有关性质加以判别，是解决本小题的关键．