Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析函数y=

x

150

+2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若该公司采用模型函数y=

10x-3a

x+2

作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

Answer 1

分析：（1）设奖励函数模型为y=f（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%，即f（x）≤

x

5

．对于函数模型，由一次函数的性质研究，是否满足第一，二两个条件，利用反例研究是否满足第三个条件；
（2）对于函数模型f（x）=

10x-3a

x+2

，即f（x）=10-

3a+20

x+2

当3a+20＞0，即a＞-

20

3

时递增，利用f（1000）≤9，

10x-3a

x+2

≤

x

5

，即可确定a的范围，从而可求满足条件的最小的正整数a的值．

解答：解：（1）设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③f（x）≤

x

5

恒成立．
对于函数模型f（x）=

x

150

+2：当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（1000）=

1000

150

+2=

20

3

+2＜9
所以f（x）≤9恒成立．
因为x10时，f（10）=

1

15

+2＞

10

5

，所以，f（x）≤

x

5

不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求；
（2）对于函数模型f（x）=

10x-3a

x+2

，即f（x）=10-

3a+20

x+2

当3a+20＞0，即a＞-

20

3

时递增，
为要使f（x）≤9对x∈[10，1000]时恒成立，即f（1000）≤9
∴3a+18≥1000，∴a≥

982

3

为要使f（x）≤

x

5

对x∈[10，1000]时恒成立，即

10x-3a

x+2

≤

x

5

，∴x²-48x+15a≥0恒成立，∴a≥

192

5

综上，a≥

982

3

，所以满足条件的最小的正整数a的值为328．

点评：本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．