Question

设f（x）是定义在（-2，2）上的奇函数，当x∈（-2，0）时，f（x）=-log_a（-x）-log_a（2+x），其中a＞0，且a≠1．
（1）解方程f（x）=0；
（2）令t∈（0，2），判断函数f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令-log_a（-x）=-log_a（2+x）=0，由已知条件能求出f（x）=0解集．
（2）由已知得f(x)=

logax(2-x)，x∈(0，2) 0，x=0 -loga(-x)(2-x)，x∈(-2，0)

，由此利用分类讨论思想能求出函数f（x）在x∈（0，t）上的最值．

解答： 解：（1）令-log_a（-x）=-log_a（2+x）=0，
∴

-2＜x＜0 -x(2+x)=1

，
解得x=-1，
又∵f（x）是定义在（-2，2）上的奇函数，
∴f（x）=0解集为{-1，0，1}．
（2）∵f（x）是定义在（-2，2）上的奇函数，
∴f(x)=

logax(2-x)，x∈(0，2) 0，x=0 -loga(-x)(2-x)，x∈(-2，0)

，
当0＜a＜1时，f（x）=log_ax（2-x）在（0，t]上单调递减，
∴f（x）_min=f（t）=log_at（2-t），无最大值；
1＜t＜2，f（x）=log_ax（2-x）在（0，1]上单调递减，在（1，t]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=0，无最大值；
当a＞1时，
0＜t≤1，f（x）=log_ax（2-x）在（0，t]上单调递增，
∴f（x）_max=f（t）=log_at（2-t），无最小值；
1＜t＜2，f（x）=log_ax（2-x）在（0，1]上单调递增，在（1，t]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=0，无最小值．

点评：本题考查方程的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和函数性质的合理运用．