Question

（理科做）（1）证明：面APC⊥面BEF；
（2）求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值．

Answer 1

证明：

(理)(1)连接EP、EC，由题可知

BP=BC=2

2

，
∴BF⊥PC，又△PAE≌△CDE，∴EP=EC，
∴EF⊥PC，且EF∩BF=F，
故PC⊥面BEF，又PC?面APC，
∴面APC⊥面BEF；
（2）在△PCD中作DG⊥PC交PC于点G，则DG=

PD•CD

PC

=

2×2 3

4

=

3

，
又由DG²=CD•PG得CG=1，
∴点G为CF的中点，取BC中点H，
连接GH、HD，则GH\mathop∥limits=BF，GH=1，
∴GH⊥PC，∠HGD为二面角的平面角，
Rt△CDH中可得HD=

6

，
∴COS∠HGD=

3+1-6

2×1× 3

=-

3

3

．