Question

8．设函数f（x）=ax²+2ax-ln（x+1），其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）+e^-a＞$\frac{1}{x+1}$在区间（0，+∞）内恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出导函数，通过当a≤0时，判断f′（x）＜0，得到函数的单调性，当a＞0时，求出极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性．
（II）令$g（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{e^x}$，当a≤0，x＞0时，当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，分别通过函数的单调性，求解；当$a≥\frac{1}{2}$时，构造函数，通过函数的导数，利用函数的单调性转化求解即可．

解答 解：（I）${f^'}（x）=2ax+2a-\frac{1}{x+1}=\frac{{2a{x^2}+4ax+2a-1}}{{{e^x}（x+1）}}（x＞-1）$
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，+∞）内单调递减．…（2分）
当a＞0时，f′（x）=0，有$x=-1+\frac{1}{{\sqrt{2a}}}$．…（4分）
此时，当$x∈（-1，-1+\frac{1}{{\sqrt{2a}}}）$时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当$x∈（-1+\frac{1}{{\sqrt{2a}}}，+∞）$时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
（II）令$g（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{e^x}$，则$g（x）=\frac{{{e^x}-x-1}}{{{e^x}（x+1）}}$（易证）
当a≤0，x＞0时，f（x）=a（x²+2x）-ln（x+1）＜0．
故当f（x）＞g（x）在区间（0，+∞）内恒成立时，必有a＞0．…（6分）
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，$-1+\frac{1}{{\sqrt{2a}}}＞0$．由（1）可知函数f（x）在$（0，-1+\frac{1}{{\sqrt{2a}}}）$上单调递减，即$x∈（0，-1+\frac{1}{{\sqrt{2a}}}）$时，f（x）＜f（0）＜g（x），不符合题意，舍．…（8分）
当$a≥\frac{1}{2}$时，令h（x）=f（x）-g（x），x＞0，则${h^'}（x）=2ax+2a-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}-\frac{1}{e^x}≥2ax+2a-\frac{x}{{{{（x+1）}^2}}}-\frac{1}{x+1}=\frac{{2a{{（x+1）}^2}-2（x+1）+1}}{{{{（x+1）}^2}}}$$≥\frac{{{{（x+1）}^2}-2（x+1）+1}}{{{{（x+1）}^2}}}＞0$
所以h（x）在x＞0时单调递增，所以h（x）＞h（0）=0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立，满足题意．综上，$a∈[\frac{1}{2}，+∞）$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．