Question

如图所示，在平行四边形ABCD中，

AB

•

BD

=0，且4|

AB

|2+2|

BD

|2=1，沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（　　）

• A．

  2

  24

  π
• B．

  1

  48

  π
• C．

  π

  4

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：根据数量积为零，得∠ABD=∠CDB=90°，故AC的中点O为外接球的球心，AC就是球的直径．由面面垂直的性质和勾股定理，算出AC²的值，结合球的表面积公式，可得外接球的表面积．

解答：解：根据题意，可知折叠后的三棱锥如右图所示．
∵

AB

•

BD

=0，∴∠ABD=∠CDB=90°，
由此可得AC的中点O即为外接球的球心
又∵二面角A-BD-C是直二面角，即平面ABD⊥平面BCD，且AB⊥BD
∴AB⊥平面BCD，可得△ABC是以AC为斜边的直角三角形
∵|

BC

|2=|

AD

|2=|

AB

|2+|

BD

|2
∴Rt△ABC中，|

AC

|2=|

AB

|2+|

BC

|2=2|

AB

|2+|

BD

|2=

1

2

从而三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4π•（

1

2

AC2）=π•AC²=

π

2

故答案为：D

点评：本题将平行四边折叠，求折成三棱锥的外接球表面积，着重考查了面面垂直的性质、球表面积公式和球内接多面体的性质等知识，属于中档题．