Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{2}$=1与直线L：y=x+m相交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，由弦长公式求得AB长度，由点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，写出三角形AOB的面积，然后利用二次函数求最值．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：3x²-4mx+2m²-4=0，
由△=16m²-12（2m²-4）＞0，得m²＜6．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-4}{3}$，
则|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{（\frac{4m}{3}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-4}{3}}$
=$\frac{4}{3}\sqrt{6-{m}^{2}}$．
点O的AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|m|$．
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}\sqrt{6-{m}^{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}|m|$=$\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{-{m}^{4}+6{m}^{2}}$．
∴当m²=3时，△AOB的面积有最大值为$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线，化为关于x的一元二次方程，然后利用根与系数关系求解，是中档题．