Question

如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形．
（1）求该几何体的全面积．
（2）求该几何体的外接球的体积．

Answer 1

分析：三视图复原的几何体是底面是正方形的正四棱柱，根据三视图的数据，求出几何体的表面积，求出对角线的长，就是外接球的直径，然后求它的体积即可．

解答：解：（1）由题意可知，该几何体是长方体，
底面是正方形，边长是4，高是2，因此该
几何体的全面积是：
2×4×4+4×4×2=64cm²
几何体的全面积是64cm²．（6分）
（2）由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径，
记长方体的对角线为d，球的半径是r，
d=

16+16+4

=

36

=6所以球的半径r=3
因此球的体积v=

4

3

πr3=

4

3

×27π=36πcm3，
所以外接球的体积是36πcm³．（12分）

点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．注意正四棱柱的外接球的直径就是它的对角线的长．