Question

【题目】已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为 。

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1） 根据题意，得；由的上顶点到双曲线的渐近线的距离为，利用点到直线距离公式求得，进而得到椭圆方程。

（2）设出直线的方程，联立双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，根据两个交点则 ，得到关于m、k的不等式；再根据，利用韦达定理求得m与k的等量关系；根据弦长公式用m、k表示出的长度，利用等量关系将化为关于k的整式，利用换元法和求导，得到的取值范围。

（1）由题意可知：，

又椭圆的上顶点为，

双曲线的渐近线为：，

由点到直线的距离公式有：.

∴椭圆方程：

（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：

，

要与相交于两点，则应有：

设，

则有：，.

又 .

又：，所以有： ，

，②

将，代入，消去并整理得：，

要有两交点，则 .③

由①②③有：

设、.

有：，

.

将代入有：

.

,令,

令 ,.

所以在内恒成立，故函数在内单调递增，

故 .