Question

【题目】(2017·洛阳市统考)已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．

(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；

(2)求数列{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）an＝.

【解析】试题分析：（1）由，可得，两式相减可得；（2）由（1）可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，讨论为奇数、为偶数两种情况，分别利用等差数列的通项公式写出奇数项和偶数项的通项公式，进而得出数列的通项公式.

试题解析：(1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，又a1＝1，

∴a2＝.

2anan＋1＝4Sn－3，①

2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②

②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.

∵an≠0，∴an＋2－an＝2.

(2)由(1)可知：

数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，

∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n为奇数时，an＝n.

数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2，首项为，

∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，即n为偶数时，an＝n－.

综上所述，an＝.