Question

设函数f1(x)=log4x-(

1

4

)x、f2(x)=log

1

4

x-(

1

4

)x的零点分别为x₁、x₂，则（　　）

• A、0＜x₁x₂＜1
• B、x₁x₂=1
• C、1＜x₁x₂＜2
• D、x₁x₂≥2

Answer 1

分析：根据函数f1(x)=log4x-(

1

4

)x、f2(x)=log

1

4

x-(

1

4

)x的零点分别为x₁、x₂，由图象知0＜x₂＜1＜x₁，根据对数的运算法则将f2(x2)=log

1

4

x2-(

1

4

)x2进行化简可得log4

1

x2

-(

1

4

)x2，根据指数函数的单调性可得log4x1 ＜log4

1

x2

，利用对数函数的单调性可求得结果．

解答：解：∵函数f1(x)=log4x-(

1

4

)x、f2(x)=log

1

4

x-(

1

4

)x的零点分别为x₁、x₂，
∴0＜x₂＜1＜x₁，
∴f1(x1)=log4x1-(

1

4

)x1=0，f2(x2)=log

1

4

x2-(

1

4

)x2=-log4x2-(

1

4

)x2=log4

1

x2

-(

1

4

)x2=0，
而(

1

4

)x2 ＞(

1

4

)x1，∴log4x1 ＜log4

1

x2

，即x1＜

1

x2

，
∴0＜x₁x₂＜1，
故选A．

点评：此题是个难题．综合考查函数图象的交点问题和对数函数的单调性以及指数函数的单调性，体现了数形结合和转化的思想，以及考查学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．