Question

16．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线$\sqrt{3}$x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\sqrt{5}$-2
• D． $\sqrt{6}$-2

Answer 1

分析 求出F（-c，0）关于直线 $\sqrt{3}$x+y=0的对称点A的坐标，代入椭圆方程可得离心率．

解答 解：设F（-c，0）关于直线$\sqrt{3}$x+y=0的对称点A（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+c}•（-\sqrt{3}）=-1}\\{\sqrt{3}•\frac{m-c}{2}+\frac{n}{2}=0}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{c}{2}$，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
代入椭圆方程可得$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{3}{4}{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，a²=b²+c²，
化简可得e⁴-8e²+4=0，
∴e=$\sqrt{3}$-1，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．