Question

已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：x＝2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1.（2）ON＝为定值

【解析】(1)∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：x＝2，

∴不妨设椭圆C的方程为＋y2＝1.

∴＝＝2，即c＝1.

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)F(1,0)，右准线为l：x＝2，设N(x0，y0)，

则直线FN的斜率为kFN＝，直线ON的斜率为kON＝，

∵FN⊥OM，

∴直线OM的斜率为kOM＝－，

∴直线OM的方程为：y＝－x，点M的坐标为M .

∴直线MN的斜率为kMN＝.

∵MN⊥ON，∴kMN·kON＝－1，

∴·＝－1，

∴＋2(x0－1)＋x0(x0－2)＝0，

即＋＝2.∴ON＝为定值