Question

已知命题p：实数m满足方程

x2

m-3a

+

y2

m-4a

=1（a＞0）表示双曲线；命题q：实数m满足方程

x2

m-1

+

y2

2-m

=1表示焦点在y轴上的椭圆，且q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：求出p，q成立的等价条件，然后利用q是p的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围．

解答：解：若方程

x2

m-3a

+

y2

m-4a

=1（a＞0）表示双曲线，
则（m-3a）（m-4a）＜0，（a＞0），
解得3a＜m＜4a，
即p：3a＜m＜4a．
若方程

x2

m-1

+

y2

2-m

=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则2-m＞m-1＞0，
解得1＜m＜

3

2

，
即q：1＜m＜

3

2

．
若q是p的必要不充分条件，
则p⇒q，
从而有：

3a≥1 4a≤ 3 2

，
解得

1

3

≤a≤

3

8

．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用双曲线和椭圆的方程的等价条件是解决本题的关键．