Question

19．已知函数$f（x）=sin（2ωx-\frac{π}{6}）+4{cos^2}$ωx-2，（ω＞0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求使得f（x）≥-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的x的取值集合；
（Ⅲ）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（-$\frac{π}{3}$，0），当m取得最小值时，求g（x）在$[-\frac{π}{6}，\frac{7π}{12}]$上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），由题意可得函数y=f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，即可得解．
（Ⅱ）由已知求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）$≥-\frac{1}{2}$，利用正弦函数的图象和性质可得2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{7π}{6}$，或2kπ+$\frac{11π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π，k∈Z，从而解得x的取值集合．
（Ⅲ）先由题意求得g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$），由图象经过点（-$\frac{π}{3}$，0），可得$\sqrt{3}$sin[2（-$\frac{π}{3}$）+2m+$\frac{π}{3}$]=0，求得当k=0时，m取得最小值，g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$），
由-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{12}$，求得$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{11π}{6}$，利用正弦函数的单调性即可得解．

解答 （本题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知$f（x）=sin（2ωx-\frac{π}{6}）+4{cos^2}$ωx-2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-4×$\frac{1-cos2ωx}{2}$+2=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{3}{2}cos2ωx$=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
由题意可得函数y=f（x）的周期T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得：ω=1．
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）…4分
（Ⅱ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）$≥-\frac{1}{2}$，
∴2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{7π}{6}$，或2kπ+$\frac{11π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π，k∈Z，
∴可解得x的取值集合为：{x/k$π-\frac{π}{6}$≤x≤kπ$+\frac{5π}{12}$}∪{x/k$π+\frac{3π}{4}$≤x≤k$π+\frac{5π}{6}$}，k∈Z…6分
（Ⅲ）将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图象，则g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$），
∵图象经过点（-$\frac{π}{3}$，0），
∴$\sqrt{3}$sin[2（-$\frac{π}{3}$）+2m+$\frac{π}{3}$]=0，即sin（2m-$\frac{π}{3}$）=0，
∴2m-$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），m=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，
∵m＞0，
∴当k=0时，m取得最小值，此时最小值为$\frac{π}{6}$，此时g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$），
若-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{12}$，则$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{11π}{6}$，
当$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，即-$\frac{π}{6}$≤x≤-$\frac{π}{12}$时，g（x）单调递增；
当$\frac{3π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{11π}{6}$，即$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{7π}{12}$时，g（x）单调递增；
∴g（x）在$[-\frac{π}{6}，\frac{7π}{12}]$上的单调递增区间为：[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{12}$]和[$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]…12分

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．