Question

设F₁F₂别是椭圆D：的左、右焦点，过F₂斜角为的直线交椭圆D于A、B点，F₁到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）作直线l与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为（-A，0），若点N（0，t）是线段PQ垂直平分线的一点，且满足，求实数t的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0），其中c＞0，
由题意得AB的方程为：y=（x-c），
因F₁到直线AB的距离为3，所以有=3，解得c=，
所以有a²-b²=c²=3，①
由题意知：，即ab=2，②
联立①②解得：a=2，b=1，
所求椭圆D的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（-2，0），设Q（x₁，y₁），
根据题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+2），
把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，
由韦达定理得-2+x₁=-，则，，
所以线段PQ的中点坐标为，
（1）当k=0时，则有Q（2，0），线段PQ垂直平分线为y轴，
于是，，
由=4，解得：t=；
（2）当k≠0时，则线段PQ垂直平分线的方程为y-=-，
因为点N（0，t）是线段PQ垂直平分线上的一点，
令x=0，得：t=-，
于是，，
由==4，解得：k=，
代入t=-，解得：t=，
综上，满足条件的实数t的值为t=或t=．
分析：（Ⅰ）设F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0），其中c＞0，由点斜式可得AB方程，由F₁到直线AB的距离为3，得=3，解出得c，由菱形面积为4得，再由a²-b²=c²=3即可解得a，b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得P（-2，0），设Q（x₁，y₁），易知直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可用k表示x₁，代入直线方程得y₁，从而可得线段PQ中点坐标，分情况讨论：当k=0时由易求t值；当k≠0时由点斜式可得垂直平分线方程，把点N坐标代入该方程可用k表示出t，再由可求得k，进而可得t值，综合两种情况可得t值；
点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查向量的数量积运算等基础知识，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．