Question

已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C：

x2

4

+y2=1于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）记直线OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，当3（k₁+k₂）=8k时，证明：直线l过定点；
（2）若直线l过点D（1，0），设△OMD与△OND的面积比为t，当k2＜

5

12

时，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出直线l的斜截式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到M，N点的横坐标的和与积，写出直线OM，ON的斜率后作和，整理后转化为含有M，N点的横坐标的和与记得形式，代入根与系数关系，结合已知条件3（k₁+k₂）=8k求出直线在y轴上的截距，从而证明直线l过定点；
（2）写出过点D（1，0）的直线l的方程，和椭圆方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到M，N两点的横坐标的和与积，进一步得到纵坐标的和与积，把△OMD与△OND的面积比t转化为M，N两点的纵坐标的比，由已知条件k²的范围求出两点纵坐标的平方和除以纵坐标的乘积的范围，由此得到关于t的不等式组，则t的取值范围可求．

解答：（1）证明：依题意可设直线l的方程为y=kx+n，其中k≠0．
代入椭圆方程得：（1+4k²）x²+8knx+4n²-4=0，
则有

x1+x2=- 8kn 1+4k2 x1x2= 4n2-4 1+4k2

．
则k1+k2=

y1

x1

+

y2

x2

=

y1x2+y2x1

x1x2

=

x2(kx1+n)+x1(kx2+n)

x1x2

=

2kx1x2+n(x1+x2)

x1x2

=-

8k

4n2-4

．
由条件3（k₁+k₂）=8k，有-

24k

4n2-4

=8k，而k≠0，则有n=±

1

2

，
从而直线l过定点(0，

1

2

)或(0，-

1

2

)；
（2）解：依题意可设直线l的方程为y=k（x-1），其中k≠0．
代入椭圆方程得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
则有

x1+x2= 8k2 1+4k2 x1x2= 4k2-4 1+4k2

．
从而有y1+y2=k(x1+x2-2)=-

2k

1+4k2

…①
y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-

3k2

1+4k2

…②
由①②得，

(y1+y2)2

y1y2

=-

4

3(1+4k2)

，
由0＜k2＜

5

12

，得-

4

3

＜-

4

3(1+4k2)

＜-

1

2

．
又t=

S△OMD

S△OND

=

|y1|

|y2|

，因y₁y₂＜0，故t=-

y1

y2

，
又

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=-t-

1

t

+2，
从而有-

4

3

＜-t-

1

t

+2＜-

1

2

，
得

3t2-10t+3＜0 2t2-5t+2＞0

，
解得：2＜t＜3或

1

3

＜t＜

1

2

．

点评：本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了整体运算思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和曲线方程，利用根与系数关系整体计算．直线与圆锥曲线的关系问题，往往运算量大，这就需要学生有较强的运算能力．该类问题在高考试卷中常以压轴题的形式出现．