Question

7．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）将C₁，C₂，C₃的方程化为普通方程，并说明它们分别代表什么曲线；
（2）Q为曲线C₂上的动点，求Q到直线C₃距离的最小值和最大值；
（3）若曲线C₁上的点P对应的参数为t=$\frac{π}{2}$，Q为曲线C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃距离的最小值；
（4）已知点P（x，y）是C₁上的动点，求2x+y的取值范围；
（5）若x+y+a≥0恒成立，（x，y）在曲线C₁上，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由sin²α+cos²α=1，能求出曲线C₁，C₂，C₃的普通方程，并能求出它们分别代表什么曲线．
（2）设Q（8cosθ，3sinθ），求出点Q到直线C₃距离，由此能求出Q到直线C₃距离的最小值和最大值．
（3）求出M（-2+4cosθ，2+$\frac{3}{2}sinθ$）和M到C₃的距离，由此能求出PQ中点M到直线C₃距离的最小值．
（4）利用圆的参数方程级求出2x+y的取值范围．
（5）利用圆的参数方程能求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t为参数），
∴曲线C₁的普通方程为（x+4）²+（y-3）²=1，
它是以（-4，3）为圆心、以1为半径的圆，
∵曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C₂的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，是焦点在x轴上的椭圆，
∵直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线C₃的普通方程为x-2y-7=0，是直线．
（2）∵Q为曲线C₂上的动点，∴设Q（8cosθ，3sinθ），
点Q到直线C₃距离：d=$\frac{|8cosθ-6sinθ-7|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}|10sin（θ+α）-7|$，
∴Q到直线C₃距离的最小值d_min=0和最大值d_max=$\frac{17\sqrt{5}}{5}$．
（3）当t=$\frac{π}{2}$时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），
故M（-2+4cosθ，2+$\frac{3}{2}sinθ$），C₃为直线x-2y-7=0，
M到C₃的距离h=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4cosθ-3sinθ-13|，
从而当cos$θ=\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$时，h取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
（4）∵点P（x，y）是C₁上的动点，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.$，
∴2x+y=-8+2cosθ+3+sinθ=$\sqrt{5}sin（θ+β）$-5，
∴2x+y的取值范围是[-5-$\sqrt{5}$，-5+$\sqrt{5}$]．
（5）∵（x，y）在曲线C₁上，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.$，
∴x+y=-4+cosθ+3+sinθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$-1，
∵x+y+a≥0，$a≥1+\sqrt{2}$，
∴a的取值范围是[1+$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查参数方程和普通方程的互化，考查点到直线的距离公式的合理运用，考查代数式的取值范围的求法，是中档题．